10. La Matemática alemana no carecía, pues, de gentes que siguieran
la gran tradición de Gauss.
Los
méritos de Weierstrass estaban siendo reconocidos; Kronecker se
había iniciado con fortuna;
cierta
parte de la gran obra de Riemann había sido ya realizada y Dedekind
había penetrado en el
campo
de la teoría de números, donde había de obtener su máxima fama.
Como es natural, Cantor
todavía
continuaba en la penumbra.
Hemos
reunido estos nombres y fechas debido a que cuatro de los hombres
mencionados, aunque
muy
separados en una gran parte de la obra que realizaron, se asocian en
uno de los problemas
centrales
de toda la matemática, el de los números irracionales. Weierstrass
y Dedekind
recogieron
la discusión de los irracionales y de la continuidad prácticamente
donde había sido
dejada
por Eudoxio en el siglo IV a. J. C; Kronecker, un eco moderno de
Zenón, amargó los
últimos años de Weierstrass con la escéptica crítica de la
revisión de las obras de Eudoxio hecha
por
aquél; mientras Cantor, siguiendo un nuevo camino, intentaba
descubrir el verdadero infinito
que
está implícito, de acuerdo con algunos, en el concepto de
continuidad. De la obra de
Weierstrass
y Dedekind se desarrolló la época moderna del Análisis, la de la
precisión lógica
crítica
en el Análisis (el Cálculo, la teoría de funciones de variable
compleja y la teoría de
funciones
de variables reales) a diferencia de los métodos intuitivos más
laxos de algunos de los
antiguos
escritores de valor incalculable como guía heurística para el
descubrimiento, pero
completamente
inútiles desde el punto de vista del ideal pitagórico de la
demostración
matemática.
Como ya hemos dicho, Gauss, Abel y Cauchy inauguraron el primer
período de
rigor.
El movimiento iniciado por Weierstrass y Dedekind fue, en un plano
superior, adecuado a
las
mayores exigencias del Análisis en la segunda mitad del siglo,
cuando las primitivas
precauciones
eran insuficientes.
Un
descubrimiento de Weierstrass conmovió la escuela intuitiva de
analistas que lo consideraron
con
recelo. Weierstrass había ideado una curva continua que no tiene
tangente en ningún punto.
Gauss
había llamado a la Matemática "la ciencia de los ojos";
era necesario algo más que un buen
par
de ojos para "ver" la curva que Weierstrass presentó a los
abogados de la intuición sensorial.
En
toda acción se observa una reacción igual y opuesta, y era natural
que el excesivo rigor
engendrara
la correspondiente oposición. Kronecker lo atacó vigorosamente,
aunque en forma
equivocada
y de modo violento. Negó que significase algo. Aunque consiguió
ofender al
venerable
y cordial Weierstrass, causó poca impresión sobre sus conservadores
contemporáneos
y
prácticamente ninguna sobre el Análisis matemático.
Kronecker
se hallaba una generación a la cabeza de su tiempo. Fue necesario
llegar a la segunda
década
del siglo XX para que su crítica severa a las doctrinas
corrientemente aceptadas de la
continuidad
y de los números irracionales fueran objeto de una seria
consideración. En la
actualidad,
no todos los matemáticos creen que el ataque de Kronecker fuera hijo
de una
explosión
de envidia despertado por Weierstrass, que algunos de sus
contemporáneos
consideraban
más famoso, y se admite que existe algo de verdad, quizá no mucho,
en estas
objeciones
violentas. De todos modos el ataque de Kronecker fue en parte
responsable del tercer
período
de rigor en el moderno razonamiento matemático, que ahora nosotros
conservamos.
Weierstrass
no fue el único matemático a quien Kronecker criticó; Cantor
sufrió también
profundamente
por lo que él consideraba la persecución maliciosa de su influyente
colega. De
todos
esos hombres nos ocuparemos en el lugar correspondiente; aquí tan
sólo intentamos
mostrar
que sus vidas y obras están ampliamente entrelazadas, al menos en
algunas cuestiones
fundamentales.
Para
completar la descripción, debemos recordar otros puntos de contacto
entre Weierstrass,
Kronecker
y Riemann por una parte, y Kronecker y Dedekind por otra. Abel,
recordaremos,
murió
en 1829, Galois en 1832 y Jacobi en 1851. En la época de que nos
estamos ocupando uno
de
los problemas sobresalientes del Análisis matemático era completar
la obra de Abel y Jacobi
sobre
las funciones periódicas múltiples, funciones elípticas, funciones
abelianas (véase capítulos
XVII,
XVIII). Desde puntos de vista totalmente diferentes, Weierstrass y
Riemann cumplieron lo
que debía hacerse. Weierstrass, en efecto, se consideró a sí
mismo, en cierto grado, como un
sucesor
de Abel. Kronecker abrió nuevas perspectivas en las funciones
elípticas, pero no
compitió
con los otros dos en el campo de las funciones abelianas. Kronecker
fue, en primer
término,
un aritmético y un algebrista; algunas de sus mejores obras
constituyen una elaboración
y
ampliación de los trabajos de Galois en la teoría de ecuaciones.
Por tanto, Galois encontró un
digno
sucesor no mucho tiempo después de su muerte.
Aparte de sus incursiones en el dominio de la continuidad v de los
números irracionales, la obra
más
original de Dedekind se refiere a la Aritmética superior, que
revolucionó y renovó. En esto
Kronecker
fue su más capaz y sagaz rival, pero, por lo demás, la forma de
enfocar los problemas
fue
completamente diferente y característica de los dos hombres.
Dedekind venció sus
dificultades
en la teoría de números algebraicos refugiándose en el infinito
(en su teoría de
"ideales"
según se dirá en el lugar adecuado); Kronecker intentó resolver
sus problemas en el
infinito.
Karl
Wilhelm Theodor Weierstrass, el hijo mayor de Wilhelm Weierstrass
(1790-1869) y de su
mujer
Theodora Forst, nació el 31 de octubre de 1815, en Ostenfelde, en el
distrito de Münster,
Alemania.
El padre era entonces oficial de aduanas al servicio de Francia.
Recordaremos que era
el
año 1815, el año de Waterloo, y los franceses dominaban aún en
Europa. Ese año también fue
el
del nacimiento de Bismarck, y es interesante observar que mientras la
obra de los hombres de
Estado
más famosos se derrumbó en la primera guerra mundial, si es que no
se había derrumbado
antes,
las contribuciones de sus contemporáneos, relativamente oscuros, a
la ciencia y al progreso
de
la civilización en general, son hoy todavía más estimadas que lo
fueron durante su vida.
La
familia Weierstrass estaba formada por devotos católicos liberales.
El padre se había
convertido
desde el protestantismo, probablemente en la época de su matrimonio.
Karl tuvo un
hermano,
Peter (que murió en 1904), y dos hermanas (Klara (1823-1896) y Elise
(1826 - 1898).
La
madre murió en 1826, poco después del nacimiento de Elisel y el
padre volvió a casarse al año
siguiente.
Poco se sabe acerca de la madre de Karl, aunque se dice que tuvo por
su marido cierta
antipatía
y que nunca vio su matrimonio con buenos ojos. La madrastra era una
típica ama de
casa
alemana; su influencia sobre el desarrollo intelectual de su
hijastro, probablemente fue nula.
El
padre, en cambio, era un idealista práctico, y un hombre de cultura
que en cierta época había
sido
maestro. Los últimos diez años de su vida transcurrieron
pacíficamente en Berlín, en la paz
de
la casa de su famoso hijo, donde vivían también las dos hijas.
Ninguno de los hijos se casó, y
aunque
el pobre Peter mostró una vez inclinación hacia el matrimonio,
prontamente fue desviado
de
ese camino por su padre y hermanas.
Una
posible causa de discordia en la sociabilidad natural de los hijos
debió ser el rigor, la
dominante
autoridad y la testarudez prusiana del padre. Había casi arruinado
la vida de Peter con
sus
constantes prédicas, y estuvo a punto de hacer lo mismo con Karl a
quien deseaba dirigir
hacia
una carrera para la que no tenía aptitudes, sin darse cuenta de cuál
era la capacidad de su
brillante
hijo. El viejo Weierstrass tuvo la audacia de sermonear a su hijo y
de mezclarse en sus
asuntos
hasta cuando "el muchacho" iba a cumplir los 40 años. Por
fortuna, Karl estaba
constituido
de un material resistente. Como veremos, su lucha contra el padre,
aunque él mismo
probablemente
no se daba cuenta de que combatía al tirano, tomó la forma no
desusada de poner
obstáculos
a la forma de vida que su padre había elegido para él. Era la mejor
defensa que podía
idear,
y lo más notable es que ni el hijo ni el padre llegaron a comprender
lo que ocurría, aunque
una
carta de Karl, cuando tenía 60 años, muestra que al fin se dio
cuenta de la causa de sus
primeras
dificultades. Karl recorrió su camino, pero fue un camino largo y
tortuoso, sembrado de
ensayos
y errores. Sólo un hombre como él, de cuerpo y mente poderosa,
podía alcanzar el
objetivo
soñado.
Poco
después del nacimiento de Karl, la familia se trasladó a
Westernkotten, Westfalia, donde el
padre
desempeñaba un cargo en las salinas. Westernkotten, como otros
tristes rincones donde
transcurrieron
los mejores años de la vida de Weierstrass, sólo se conoce hoy en
Alemania por el
hecho de que Weierstrass había sido condenado a enmohecerse allí,
aunque no llegó a
enmohecerse.
Su primer trabajo está fechado el año 1841, (a la edad de 26 años)
en
Westernkotten.
No habiendo escuela en la aldea, Karl fue enviado a la cercana ciudad
de
Münster, y luego, a los 14 años, ingresó en el Instituto Católico
de Paderborn. Como Descartes en
condiciones
algo similares, Weierstrass sacó jugo de su escuela, y contrajo
amistad con los
buenos
maestros. Cumplió sus tareas en un tiempo mucho menor que el normal,
y todos sus
estudios
registran un comportamiento uniformemente brillante. Abandonó el
Instituto en 1834,
teniendo
19 años. Obtuvo premios con inquebrantable regularidad, y un año
consiguió siete. De
ordinario
ocupó el primer puesto en alemán y en dos de las tres materias
latín, griego y
Matemática.
Por una ironía del destino jamás obtuvo un premio en caligrafía,
aunque estaba
dedicado
a enseñar escritura a los muchachuelos que se habían emancipado
recientemente de los
lazos
maternos.
Como
los matemáticos suelen gozar de la música, es interesante observar
que Weierstrass, tosco
como
era, no podía tolerar la música en ninguna forma. Nada significaba
para él, y tampoco
pretendía
que tuviera alguna significación. Cuando sus solícitas hermanas
intentaban que tomara
lecciones
de música para hacerle más sociable, solía abandonar el proyecto
después de una o dos
lecciones
mal aprendidas de memoria. Los conciertos le aburrían, y las óperas
le provocaban el
sueño
cuando era arrastrado a alguno de esos espectáculos.
Como
su buen padre, Karl no sólo era un idealista, sino también
extraordinariamente práctico.
Además
de obtener la mayor parte de los premios en los estudios que no
tenían aplicaciones
prácticas,
se aseguró una ocupación retribuida cuando tenía 15 años,
sirviendo de tenedor de
libros
en un próspero comercio de jamón y manteca.
Todos
estos triunfos iban a tener un efecto desastroso sobre el futuro de
Karl. El viejo
Weierstrass,
como muchos padres, dedujo una errónea conclusión de los triunfos
de su hijo.
Razonaba,
si es que se puede llamar razonar, del siguiente modo. El muchacho
había logrado una
carretada
de premios, por tanto, debía tener talento; lograba ganar dinero
desempeñando un cargo
en
el negocio de un honorable comerciante en manteca y jamón, por tanto
debería ser un brillante
tenedor
de libros. Ahora bien ¿cuál es el ideal de todo tenedor de libros?
Sin duda alguna un alto
puesto
del gobierno en el servicio civil prusiano. Pero para lograr esta
elevada posición era
deseable
un conocimiento de las leyes, así le sería posible triunfar y no
caería derrotado.
Como
una consecuencia de toda su lógica el pater-familias Weierstrass
metió de cabeza a su
inteligente
hijo, cuando tenía 19 años, en la Universidad de Bonn, para que
dominara todas las
trapacerías
del comercio y todas las sutilezas de las leyes.
Karl
no tenía inclinación alguna para esas dos actividades. Dedicó la
fortaleza de su cuerpo, su
extraordinaria
destreza y su aguda inteligencia casi exclusivamente a la esgrima y a
la dulce
sociabilidad
que proporciona el nocturno y liberal consumo de la excelente cerveza
alemana.
Para
hacer lo que Weierstrass hizo y seguir adelante, hay que tener al
menos una décima parte de
su
fortaleza y no menos de una milésima parte de su talento.
Weierstrass
fue invencible en Bonn. Su ojo rápido, su largo brazo, una exactitud
demoníaca y su
terrible
velocidad en la esgrima hicieron de él un contrincante admirable, y
se afirma que jamás
fue
tocado. Ninguna cicatriz adornaba su mejilla y en ninguno de sus
duelos llegó a verter una
gota
de sangre. No está definitivamente establecido si después de
algunas de las celebraciones de
sus
numerosas victorias quedó o no debajo de la mesa. Sus discretos
biógrafos son algo
reservados
acerca de este importante punto, pero quien haya contemplado alguna
vez alguna de
las
obras maestras matemáticas de Weierstrass le parecerá inconcebible
que una cabeza tan fuerte
como
la suya haya podido inclinarse ante un jarro de medio litro. Al fin y
al cabo, sus cuatro años
de
Universidad quizá fueron bien empleados.
Sus
experiencias en Bonn tuvieron tres consecuencias de gran interés
para Weierstrass: le curaron
de
la fijación al padre, sin que en modo alguno quedara dañado su
afecto por su desilusionado
progenitor;
le hicieron un ser humano capaz de sentir las esperanzas y
aspiraciones de los seres
novela fue traducida a muchos idiomas.
Aunque
Weierstrass nunca se casó, no era un empedernido solterón que ponía
pies en polvorosa
cuando
veía acercarse a una bella mujer. Sonja, a juzgar por lo que se dice
de ella, era
extraordinariamente
hermosa. Debemos narrar, en primer término, cómo llegaron a
encontrarse
Sonja
y Weierstrass.
Weierstrass
solía aprovechar las vacaciones de verano en una forma muy humana.
La guerra
francoprusiana
fue causa de que tuviera que prescindir de su viaje de verano en
1870, y
permaneció
en Berlín pronunciando conferencias sobre las funciones elípticas.
Debido a la
guerra,
su clase estaba constituida por 20 discípulos, en lugar de los 50
que solían asistir a sus
lecciones
dos años antes. Desde el otoño de 1869, Sonja Kowalewski, entonces
una muchacha
deslumbrante
de 19 años, estaba estudiando funciones elípticas con Leo
Königsberger en la
Universidad
de Heidelberg. Allí seguía además las conferencias sobre física
de Kirchhoff y
Helmholtz
y conoció también a Bunsen, el famoso químico, en las graciosas
circunstancias que
más
tarde recordaremos. Königsberger, uno de los primeros discípulos de
Weierstrass, era un
ferviente
devoto de su maestro. Sonja se contagió de su entusiasmo, y resolvió
dirigirse
directamente
a Weierstrass para seguir sus inspiraciones.
La
situación de las estudiantes solteras en el año 1870 era algo
anómala, y empezaremos por
recordar
que Sonja, cuando tenía 18 años, había contraído un verdadero
matrimonio nominal,
habiendo
dejado a su marido en Rusia, mientras ella se dirigió a Alemania.
Por parecerle una
cuestión
sin importancia, no se había cuidado de informar a Weierstrass, al
principio, de que
estaba
casada.
Decidida
a seguir las lecciones del maestro, Sonja reunió valor y visitó a
Weierstrass en Berlín.
Ella
tenía 20 años y era muy trabajadora, muy seria y muy resuelta; él
tenía 55, y no olvidaba a
Gudermann,
a quien debía lo que era, que le había enseñado con el ejemplo a
sentir una simpática
comprensión
para las ambiciones de la gente joven. Para disimular su azoramiento,
Sonja llevaba
un
gran sombrero, que casi le tapaba el rostro, "por tanto,
Weierstrass no llegó a ver aquellos
maravillosos
ojos, a cuya elocuencia, cuando ella lo deseaba, nadie podía
resistir".
Dos
o tres años más tarde, visitando Heidelberg, Weierstrass supo de
labios de Bunsen, un
terrible
solterón, que Sonja era "una mujer peligrosa". Weierstrass
se divirtió mucho del terrible
terror
de su amigo, pues Bunsen no sabía que Sonja había recibido
frecuentes lecciones privadas
de
Weierstrass durante dos años.
El
pobre Bunsen basaba su opinión respecto a Sonja en una amarga
experiencia personal. Durante
años
había proclamado que a ninguna mujer, y especialmente a ninguna
mujer rusa, le sería
permitido
profanar la santidad masculina de su laboratorio. Una de las amigas
rusas de Sonja
deseaba
ardientemente estudiar química en el laboratorio de Bunsen, y al no
haber sido admitida
se
dirigió a Sonja, para que ensayara su capacidad de persuasión sobre
el áspero químico.
Dejando
el sombrero en su casa, Sonja visitó a Bunsen. El químico no pudo
resistir los encantos
de
Sonja y aceptó a su amiga para que trabajara en su laboratorio.
Después de terminar la
entrevista
se dio cuenta de lo que había hecho, y Bunsen se lamentaba diciendo:
"Ahora esa
mujer
me ha hecho comer mis propias palabras".
La
evidente seriedad de Sonja en su primera visita impresionó
favorablemente a Weierstrass,
quien
inmediatamente escribió a Königsberger preguntándole acerca de sus
aptitudes
matemáticas.
El maestro indagaba también si "la personalidad de la dama
ofrecía las necesarias
garantías".
Habiendo recibido una contestación llena de entusiasmo, Weierstrass
intentó obtener
de
la Comisión Directiva de la Universidad que admitiese a Sonja a sus
conferencias
matemáticas.
Al ser bruscamente rechazada la petición decidió dedicar a la joven
sus horas libres.
Todos
los domingos por la tarde Sonja visitaba al maestro, y una vez por
semana Weierstrass
devolvía
su visita. Después de algunas lecciones, Sonja abandonó su
sombrero. Las lecciones
comenzaron
en el otoño de, 1870 y continuaron, con ligeras interrupciones
debidas a vacaciones
y
enfermedades, hasta el otoño de 1874. Cuando por alguna razón los
amigos no podían reunirse,
mantenían
correspondencia. Después de la muerte de Sonja en 1891, Weierstrass
quemó todas las
cartas
de ella, junto con otra correspondencia, y probablemente con algún
trabajo matemático.
La
correspondencia entre Weierstrass y su encantadora amiga es
cálidamente humana, hasta
cuando
las cartas se refieren especialmente a la Matemática. Gran parte de
esa correspondencia
tenía,
sin duda, considerable importancia científica, pero desgraciadamente
Sonja era una mujer
poco
ordenada, y muchos de los documentos encontrados después de su
muerte eran trabajos
fragmentarios
en terrible confusión.
El
mismo Weierstrass no admitía parangón a este respecto. Sin
conservar copias, prestaba sus
manuscritos
inéditos a los discípulos, que no siempre los devolvían. Algunos
llegaron a
apropiarse
indebidamente investigaciones del maestro, publicando los resultados
como propios.
Aunque
Weierstrass se queja de esta condenable práctica en las cartas a
Sonja, su lamentación se
refiere
más al hecho de que sus trabajos cayeran en manos incompetentes, con
el consecuente
daño
para la Matemática, que al hecho de que le fueran arrebatadas sus
ideas. Sonja, como es
natural,
jamás hizo nada parecido, pero en otro respecto tampoco está libre
de culpa. Weierstrass
le
envió uno de sus trabajos inéditos, entre los muchos que tenía, y
no volvió a verlo. Parece que
la
joven lo perdió, pues discretamente trata de eludir la cuestión
siempre que el maestro se refiere
a
ella.
Para
compensar esta falta, Sonja hizo cuanto pudo para que Weierstrass
tomara razonables
precauciones
respecto al resto de su obra no publicada. Weierstrass tenía la
costumbre de
transportar
en sus frecuentes viajes una gran caja de madera blanca donde
encerraba todas sus
anotaciones,
y los diversos apuntes referentes a trabajos que aun no había
terminado. Era su
hábito
modificar las teorías muchas veces hasta que encontraba la forma
mejor, la forma natural
de
desenvolverlas. En consecuencia publicaba con lentitud, y tan sólo
ponía su firma bajo el
trabajo
cuando había agotado el tema desde todos los puntos de vista. Varios
de sus proyectos en
embrión
estaban guardados ,en la misteriosa caja. En 1880, mientras
Weierstrass realizaba un
viaje
de vacaciones, perdió la caja, y jamás volvió a oír hablar de
ella.
Después
de obtenido su título in absentia, Sonja volvió a Rusia, desde
Göttingen en 1874, para
descansar
del exceso de trabajo. Su fama la precedió y su reposo consistió en
entregarse a las
vanidades
de una vida social en San Petersburgo, mientras Weierstrass, que
permanecía en
Berlín,
intentaba por toda Europa buscar a su discípula favorita una
posición digna de su talento.
Sus
esfuerzos inútiles le enemistaron con muchos de los estrechos
talentos académicos
ortodoxos.
En
octubre de 1875, Weierstrass recibió de Sonja la noticia de que su
padre había muerto; pero
parece
que ella jamás contestó a su conmovida condolencia, y durante casi
tres años no tuvo la
menor
noticia de su vida. En agosto de 1878, Weierstrass volvió a escribir
a su antigua discípula
preguntándole
si había recibido una carta escrita hacía tanto tiempo que había
olvidado la fecha.
"¿No
recibisteis mi carta? ¿Qué puede impediros confiar libremente en
mí, vuestro mejor amigo,
como
solíais llamarme, y según acostumbrabais a hacer? Es un enigma cuya
solución ninguna
otra
persona puede darme...
En
la misma carta Weierstrass le pide patéticamente que niegue el rumor
de que ha abandonado
la
Matemática. Chebycheff, un matemático ruso, visitó a Weierstrass
cuando éste se hallaba
ausente,
pero le comunicó a Borchardt que Sonja se "había entregado a
la vida social", y así había
ocurrido
en efecto. "Dirija su carta a Berlín, a la, antigua dirección,
concluye Weierstrass, será un
regalo
para mí".
La
ingratitud del hombre para el hombre es un tema bastante conocido;
Sonja demostró ahora que
una
mujer puede hacer lo mismo cuando quiere. No respondió a la carta de
su viejo amigo,
aunque
sabía que ello le disgustaba y que su salud era precaria.
La
respuesta, cuando llegó, fue todavía peor. Sonja se acordó que era
mujer, y consideró como la
mejor
de sus ambiciones vivir felizmente con su marido. Desgraciadamente
para ella fue el foco
de
una admiración aduladora y torpe de una serie de artistas,
periodistas y supuestos literatos
superficialmente
brillantes, que ensalzaban sin cesar su insuperable genio. Si hubiera
frecuentado
la
sociedad de intelectuales que le correspondía, habría continuado
una vida normal y mantenido
su
entusiasmo. Además, no habría tratado al hombre que moldeó su
talento del modo indigno en
que
lo hizo.
En
octubre de 1878 nació "Foufie", la hija de Sonja.
El
forzado reposo después de la llegada de Foufie hizo revivir el
interés matemático de la madre,
y
entonces escribió a Weierstrass para, lograr sus consejos.
Weierstrass contestó que debía
repasar
la bibliografía más importante antes de aventurar una opinión.
Aunque ella le había
despreciado,
seguía dispuesto a alentaría en lo que pudiera. Su única
lamentación (en una carta de
octubre
de 1880) es que su largo, silencio le había privado de la
oportunidad de ayudarla. "No me
gusta,
hablar demasiado del pasado cuando tenemos el futuro ante nuestros
ojos".
Tribulaciones
materiales llevaron a Sonja al camino de la verdad. Habiendo nacido
matemática
no
podía alejarse de la Matemática, lo mismo que los patos no pueden
alejarse del agua. Por
tanto,
en octubre de 1880 (cuando tenía 30 años) volvió a escribir a
Weierstrass solicitando
nuevamente
consejo. No tuvo paciencia para esperar la contestación, y se
trasladó
inmediatamente
desde Moscú a Berlín. De haber recibido la respuesta quizá hubiera
permanecido
donde
estaba. De todos modos, cuando la aturdida Sonja llegó
inesperadamente, Weierstrass, le
dedicó
todo un día para resolver sus dificultades. La charla debió ser
larga y provechosa, pues
cuando
volvió a Moscú, tres meses más tarde, se dedicó a la Matemática
con tal furia que sus
alegres
amigos y necios parásitos no la reconocían. Por consejo de
Weierstrass abordó el
problema
de la propagación de la luz en un medio cristalino.
En
1882 la correspondencia sigue dos nuevos rumbos, uno de los cuales
tiene interés matemático.
El
otro es la franca opinión de Weierstrass de que Sonja y su marido no
han nacido el uno para el
otro,
especialmente debido a que el marido no aprecia los méritos
intelectuales de ella. El punto
matemático
se refiere a Poincaré, que se hallaba al comienzo de su carrera. Con
su instinto seguro
para
reconocer los talentos jóvenes, Weierstrass considera a Poincaré
como un hombre del futuro,
y
espera que llegará a curarse de su propensión a publicar con
demasiada rapidez y que sabrá
aguardar
a que sus investigaciones maduren sin que se difundan en un campo
demasiado amplio.
"Publicar
un artículo de verdadero mérito todas las semanas es imposible",
decía Weierstrass
refiriéndose
al diluvio de trabajos de Poincaré.
Las
dificultades domésticas de Sonja se resolvieron con la muerte
repentina de su marido, en
marzo
de 1883. En aquella época Sonja estaba en París y él en Moscú. La
conmoción la dejó
postrada.
Durante cuatro días permaneció sola, rechazando el alimento, pero
al sexto día pidió
papel
y lápiz, y comenzó a escribir fórmulas matemáticas. Hacia el
otoño ya se hallaba repuesta,
y
asistió a un congreso científico en Odesa.
Gracias
a Mittag-Leffler, Sonja Kowalewski obtuvo al fin la posición
ambicionada. En otoño de
1884
pronunció conferencias en la Universidad de Estocolmo, donde fue
nombrada más tarde
(1889)
profesora. Poco después tuvo una contrariedad desconcertante cuando
el matemático
italiano
Vito Volterra señaló un grave error en su obra sobre la refracción
de la luz en un medio
cristalino.
Este error había escapado a Weierstrass, quien por entonces estaba
tan sobrecargado de
trabajo
con sus deberes oficiales, que, aparte de ellos, "tan sólo
tenía tiempo para comer, beber y
dormir".
Weierstrass decía: "Padezco lo que los doctores llaman
agotamiento del cerebro". Tenía
por
entonces cerca de 70 años, pero aunque sus males físicos
aumentaban, su capacidad
intelectual
permanecía tan poderosa como siempre.
Al
cumplir el maestro los setenta años, le fueron rendidos honores
públicos, acudiendo sus
discípulos
nuevos y viejos de todas las partes de Europa. Más tarde, sus
conferencias fueron cada
vez
más escasas, pero durante 10 años recibió a algunos de sus
discípulos en su propia casa.
Cuando
veían que estaba fatigado, daban de lado la Matemática y hablaban
de otras cosas, o
escuchaban
las palabras del sociable anciano recordando sus travesuras de
estudiante y los tristes
años
de su aislamiento. Sus ochenta años fueron celebrados con una
ceremonia aun más
impresionante,
pues Weierstrass llegó a ser, en cierto grado, un héroe nacional
del pueblo
alemán.
Una
de las mayores alegrías que tuvo Weierstrass en sus últimos años
fue al saber que su
discípula
favorita había recibido el premio que merecía. En las Navidades de
1888 le fue
entregado
a Sonja personalmente el premio Bordin de la Academia Francesa de
Ciencias, por su
memoria:
Sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo.
Como
es costumbre en tales premios la memoria debía ser presentada
anónimamente (el nombre
del
autor era enviado en sobre cerrado, llevando fuera el mismo lema
inscripto en la memoria, y
el
sobre únicamente se abría cuando se trataba de la obra que había
obtenido el premio), de modo
que
los celosos rivales no tenían la oportunidad de insinuar que el
premio se había logrado por
influencias.
En opinión de los jueces el trabajo tenía un mérito tan
excepcional que se aumentó la
cuantía
del premio desde 3.000 francos a 5.000. El valor monetario era, sin
embargo, lo menos
importante
del premio.
Weierstrass
no cabía de gozo. "No necesito deciros, escribía, hasta qué
punto sus triunfos han
alegrado
mi corazón y los de mis hermanas, así como el de sus amigos. Yo
particularmente he
experimentado
una verdadera satisfacción. Jueces competentes han dictado su
veredicto de que
mi
fiel discípula, mi “punto débil”, no es una “frívola
tramposa”.
Dejemos
a los amigos en su momento de triunfo. Dos años más tarde (10 de
febrero de 1891)
murió
Sonja en Estocolmo, teniendo 41 años, después de un breve ataque de
gripe, que en aquella
época
era epidémica. Weierstrass la sobrevivió seis años, muriendo
pacíficamente, cuando tenía
82
años, el 19 de febrero de 1897, en su casa de Berlín después de
una larga enfermedad
complicada
con gripe. Su último deseo fue que el sacerdote no pronunciara
alabanza alguna
durante
los funerales, y que se limitara a los rezos habituales.
Sonja
está enterrada en Estocolmo; Weierstrass, con sus dos hermanas, en
un cementerio católico
de
Berlín. Sonja pertenecía también a la fe católica, a la Iglesia
cristiana.
Haremos
una alusión a dos de las ideas básicas sobre las que Weierstrass
fundó su obra en
Análisis.
Los detalles o una explicación exacta estarían fuera de lugar aquí,
y pueden encontrarse
en
los primeros capítulos de cualquier libro que trate de la teoría de
funciones. Una serie de
potencias
es una expresión de la forma
en
la cual los coeficientes a0, a1, a2, ..., an... son números y z una
variable; los números
correspondientes
pueden ser reales o complejos.
Las
sumas de 1, 2, 3,... términos de la serie, o sea se llaman sumas
parciales.
Si para algún valor particular de z esas sumas parciales dan una
sucesión de números
que
convergen hacia un límite definido, se dice que la serie de
potencias convergen hacia el
mismo
límite para ese valor de z.
Todos
los valores de z para los cuales las series de potencias convergen
hacia un límite
constituyen
el campo de convergencia de las series; para cualquier valor de la
variable z en este
campo
las series convergen; para otros valores de z divergen.
Si
las series convergen para algún valor de z, su valor se puede
calcular con la aproximación que
se
quiera tomando un número suficientemente grande de términos.
Ahora
bien, en la mayoría de los problemas matemáticos que tienen
aplicaciones a la ciencia, la
"respuesta"
es indicada como la solución de una ecuación diferencial (o sistema
de tales
ecuaciones),
y esta solución sólo rara vez se obtiene como una expresión finita
de funciones
matemáticas
reunidas en tablas (por ejemplo logaritmos, funciones
trigonométricas, funciones
elípticas,
etc.). En tales problemas es necesario hacer dos cosas: demostrar que
la serie converge;
si
así ocurre, calcular su valor numérico con la aproximación
requerido.
Si
la serie no converge es de ordinario un signo de que el problema ha
sido incorrectamente
planteado
o erróneamente resuelto. Las numerosas funciones que se presentan en
Matemática
pura
son tratadas en la misma forma, lo mismo que tengan o no aplicaciones
científicas, y,
finalmente
se ha elaborado una teoría general de la convergencia para explicar
vastos campos de
estas
cuestiones, de modo que el examen individual de la serie particular
muchas veces se refiere
a
investigaciones de mayor alcance ya realizadas.
Finalmente,
todo ello (trátese de Matemática pura o aplicada) se extiende a
series de potencias de
2,
3, 4... variables en lugar de la única variable z, como en el caso
citado; por ejemplo
Puede
decirse que sin la teoría de las series de potencias la mayor parte
de la física matemática
(incluyendo
gran parte de la astronomía y de la astrofísica), tal como la
conocemos hoy, no
existiría.
Las
dificultades que surgen con los conceptos de límite, continuidad y
convergencia impulsaron a
Weierstrass
a la creación de su teoría de números irracionales.
Supongamos
que extraemos la raíz cuadrada de 2, como se hace corrientemente,
llevando el
cálculo
hasta un gran número de cifras decimales. Tendremos como
aproximaciones sucesivas de
la
raíz cuadrada pedida la sucesión de números
1,
1.4, 1.41, 1.412,...
Con
suficiente paciencia, procediendo mediante pasos bien definidos según
la regla usual,
podemos,
si es necesario, mostrar el primer millar, o el primer millón, de
los números racionales
1,
1.4,... que constituyen esta sucesión de aproximaciones. Examinando
esta sucesión vemos que,
cuando
llegamos suficientemente lejos, tenemos un número racional
perfectamente definido que
contiene
tantas cifras decimales como nos plazca (por ejemplo 1000, y que éste
número racional
difiere
de cualquiera de los números racionales sucesivos de la sucesión en
un número (decimal),
tal
como .000... 000..., en el cual se presenta un número
correspondientemente grande de ceros
antes
de que aparezca otro dígito (1, 2,... 6 ó 9).
Esto
ilustra lo que se quiere significar por una sucesión convergente de
números: los racionales 1,
1.4,...
que constituyen la sucesión nos dan aproximaciones más exactas al
"número irracional"
que
llamamos la raíz cuadrada de 2, y que concebimos como definido por
la sucesión
convergente
de números racionales, admitiéndose esta definición en el sentido
de que se ha
indicado
un método (el usual) de calcular cualquier término particular de la
sucesión en un
número
finito de etapas.
Aunque
es imposible, en realidad, mostrar la sucesión total, no
deteniéndose en cualquier número
finito
de términos, consideramos, de todos modos, el proceso para construir
cualquier número de
la
sucesión como una concepción suficientemente clara de la sucesión
total con un objeto único
definido,
acerca del cual podemos razonar. Al hacer esto disponemos de un
método para usar la
raíz
cuadrada de 2, y de modo análogo para cualquier número irracional,
en el Análisis
matemático.
Según
se ha dicho, es imposible hacer esto de un modo preciso en un libro
como el presente,
pero,
hasta en este caso, un cuidadoso examen permite descubrir alguna de
las objeciones lógicas
que
pueden hacerse a la explicación precedente, objeciones que
inspiraron a Kronecker y a otros
autores
para atacar la definición de los irracionales de Weierstrass por
medio de sucesiones
convergentes.
Estuvieran
o no en lo cierto, Weierstrass y su escuela consiguieron resultados
de la teoría. Los
resultados
más útiles logrados no han sido discutidos, al menos sobre la base
de su gran utilidad
en
el Análisis matemático y sus aplicaciones, por ningún juez
competente. Esto no significa que
no
puedan hacerse objeciones, y simplemente llamar la atención sobre el
hecho de que en
Matemática,
como cualquier otra cosa, no debe confundirse esta tierra con el
Reino de los Cielos,
que
la perfección es una quimera, y que, según las palabras de Crelle,
sólo podemos esperar
acercarnos
cada vez más a la verdad matemática siempre que esto pueda ser,
precisamente como
en
la teoría de Weierstrass de las sucesiones convergentes de números
racionales que definen los
irracionales.
Después
de todo ¿por qué los matemáticos, que son seres humanos como el
resto de los mortales,
siempre
serán tan pedantemente exactos y tan inhumanamente perfectos?
Weierstrass dijo:
"Cierto
es que un matemático que no tiene también algo de poeta, jamás
será un perfecto
matemático".
He aquí la respuesta: un matemático perfecto, por el mismo hecho de
su perfección
poética,
será una imposibilidad matemática.
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